¡ Y cuánto cuesta entenderla! En este blog tengo una serie de problemas de crecimiento bacteriano. Para resolverlo hace falta entender la función exponencial. En el blog matemovil lo explican muy bien.
ATENCIÓN: muchas calculadoras no tienen la tecla de log2, es decir, logaritmo en base dos. Tienen exclusivamente log que significa logaritmo en base 10. Se puede resolver de la siguiente manera:
Por ejemplo: log2 8192 = 13. Es decir, 213= 8192. Si hago log 8192/log 2 = 391338/0.301029999 = 13
PROBLEMA 1 Tengo 600 moléculas de ADN. Las amplifico por PCR 25 ciclos. Al cabo de 25 ciclos de amplificación ¿Cuántas moléculas tengo de ADN?
600 x 225= 20.132.659.200
PROBLEMA 2. a) Tengo 4096 bacterias que han crecido a partir de una sola bacteria. ¿Cuántas veces se han dividido? b) Puedo hacerlo más difícil: tengo 2.457600 bacterias que han crecido a partir de 600 bacterias ¿Cuántas veces se han dividido?
a) log2 4096 = 12. Para resolver esto se puede utilizar la app Photomath
Bacterias iniciales X 2 elevado a las veces que se han dividido = bacterias finales.
600 x 2 elevado a las veces que se han dividido = 2.457600. Pasamos 600 a la derecha del igual. 2457600/600 = 4096. 2 elevado a las veces que se ha dividido = 4096. Log2 4096 = 12. Resultado 12 veces que se ha dividido
PROBLEMA 3. a) En 2023¿Cuántos antepasados tiene Hégira en 1823 (fecha de la Independencia de Venezuela) teniendo en cuenta que en su familia se reproduce cada 20 años? Me explico, hace 20 años tenía 2 progenitores, hace 40 años 4 antepasados, hace 60 años 8 antepasados (bisabuelos)... b) Desde 2023 ¿Cuántas personas desde esa fecha han transmitido ADN a Hégira?
a) En 200 años hacen falta 10 generaciones para llegar a Hégira. Hace falta que 1024 personas (2 elevado a 10) en 1823 para llegar a Hégira. Es decir, esas 1024 tuvieron 512 hijos (la mitad varones, la mitad hembras) que dieron lugar a 256 antepasados (la mitad varones la mitad hembras) que dieron lugar a 128 antepasados...
b) 1024+512+256+128+64+32+16+8 (bisabuelos)+4(abuelos)+2(padres) = 2.046
PROBLEMA 4. Tengo un cultivo celular de una densidad óptica de 0.6. Sabemos que:
La concentración de bacterias en un cultivo = DO600nm x 1.2 109.
Por tanto, la concentración de bacterias será 0.6 x 1.2 109 = 7.2 108. Si tengo 7.2 108 bacterias por militro ¿Cuántas diluciones 1/10 tendría que hacer para tener un número en la placa que pudiese contar? Para entender las diluciones mira el siguiente gráfico:
Fig. 1. Diluciones seriadas
PREGUNTA 5: Imaginemos que te presentan los datos de la izquierda: de los pacientes ingresados en un hospital, un 33% son no vacunados y un 66% están vacunados. Por lo tanto, ¡Ojo esta conclusión es falsa! concluyes erróneamente que las vacunas no funcionan. Los datos de la derecha nos dicen que en la población general el 20% son no vacunados y el 80% son vacunados. ¿Cómo podrías convencer a un antivacunas de que las vacunas funcionan?
PREGUNTA 6: Clostridium difficile se divide cada 12 minutos. ¿Cuánto tiempo toma para que esta bacteria alcance 9,223372037×10¹⁸ descendientes?. Después de hacer este ejercicio ¿Podrías explicar la colitis pseudomembranosa? Si no es así mira la pregunta 15
PREGUNTA 7: En el problema del trigo y el ajedrez se muestra el poder de la progresión exponencial. Si nosotros incubamos una bacteria en presencia de antibiótico, como podemos ver abajo en el video, en la sección izquierda, la mayoría de las bacterias morirán en presencia de la penicilina. Si tenemos 9,223372037×10¹⁸ y se mueren el 99.99999% de las bacterias ¿Cuántas bacterias quedarían?
PREGUNTA 8: a) Comienzo un cultivo bacteriano a partir de 1 bacteria. Si se trata de Escherichia coli que se divide cada 20 minutos ¿Cuántas bacterias tendré a las 5 horas? b) Si comienzo un cultivo 1 bacteria y al cabo de 6 horas tengo 16384 bacterias ¿Cuál será el tiempo medio de división de esta bacteria?
PREGUNTA 9: La exposición a una vacuna contra un virus determinado, por ejemplo virus X, aumenta un tipo de linfocito B de 1 a 1000000 de linfocitos memoria con capacidad para reconocer a este virus X. Sin vacuna no existen linfocitos memoria contra este virus.
Dos amigos, Juan y Pedro. Juan es hijo de unos hippies antivacunas, Pedro ha sido vacunado. Ambos suben al Ecovía y se contagian con el virus. Se necesitan 100 millones de linfocitos para tener una respuesta eficaz para eliminar el virus.
Una vez que te infecta el virus X te mata al cabo de 48 horas. Los linfocitos B se dividen cada 2 horas. ¿Se salvarán los dos amigos? ¿Solo el vacunado?
PREGUNTA 7: En el problema del trigo y el ajedrez se muestra el poder de la progresión exponencial. Si nosotros incubamos una bacteria en presencia de antibiótico, como podemos ver abajo en el video, en la sección izquierda, la mayoría de las bacterias morirán en presencia de la penicilina. Si tenemos 9,223372037×10¹⁸ y se mueren el 99.99999% de las bacterias ¿Cuántas bacterias quedarían?
PREGUNTA 8: a) Comienzo un cultivo bacteriano a partir de 1 bacteria. Si se trata de Escherichia coli que se divide cada 20 minutos ¿Cuántas bacterias tendré a las 5 horas? b) Si comienzo un cultivo 1 bacteria y al cabo de 6 horas tengo 16384 bacterias ¿Cuál será el tiempo medio de división de esta bacteria?
PREGUNTA 9: La exposición a una vacuna contra un virus determinado, por ejemplo virus X, aumenta un tipo de linfocito B de 1 a 1000000 de linfocitos memoria con capacidad para reconocer a este virus X. Sin vacuna no existen linfocitos memoria contra este virus.
Dos amigos, Juan y Pedro. Juan es hijo de unos hippies antivacunas, Pedro ha sido vacunado. Ambos suben al Ecovía y se contagian con el virus. Se necesitan 100 millones de linfocitos para tener una respuesta eficaz para eliminar el virus.
Una vez que te infecta el virus X te mata al cabo de 48 horas. Los linfocitos B se dividen cada 2 horas. ¿Se salvarán los dos amigos? ¿Solo el vacunado?
Solución aquí
PREGUNTA 10: Después de un tratamiento antibiótico en el que han muerto el 99.99999% de las bacterias resulta que tengo 9,22x1011 bacterias. ¿Cuántas bacterias tenía en la infección antes de comenzar el tratamiento antibiótico?
PREGUNTA 11: i) Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 15000 genes y se divide en dos bacterias cada 40 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes. ¿Cuánto tiempo tarda B en dividirse?. ii) ¿Cuántas bacterias dejará de descendencia la bacteria A y cuántas la bacteria B tras 5 horas de crecimiento?
PREGUNTA 12: i) Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 8000 genes y se divide en dos bacterias cada 40 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes. ¿Cuánto tiempo tarda B en dividirse?. ii) ¿Cuántas bacterias dejará de descendencia la bacteria A y cuántas la bacteria B tras 3 horas de crecimiento?
PREGUNTA 13: Cuando no existían bacterias toda la vida sobre la Tierra era vírica. Eran protovirus de ARN que tenían ribosomas. Estos virus se replicaban en la sopa biológica (en Ecuador en el locro biológico). Cuando aparecieron las bacterias, éstas tenían una membrana que diferenciaba fuera de dentro. Las bacterias metieron dentro todo lo que les interesaba de la sopa biológica. Los protovirus al quedarse sin su alimento sufrieron una presión selectiva que favoreció a aquellos virus que sabían como penetrar en el interior de las bacterias y alimentarse de lo que antaño había sido suyo. Nacieron los virus como entidades parásitas de las células. Muchos biólogos siguen diciendo, de forma equivocada, que los virus no son entidades vivas porque se tienen que alimentar de una célula metabólicamente activa. Si es por eso, podríamos incluir en la categoría de virus a muchas personas que no son capaces de subsistir sin su tarjeta de crédito. ¿Cómo perdieron los protovirus sus ribosomas? porque hoy en día los virus actuales no tienen ribosomas. Como siempre la solución está en la selección natural. Imaginemos dos virus A y B. El virus A es un protovirus, tiene ribosomas, y su ARN tiene 60.000 bases. El virus B perdió los genes de los ribosomas y por esa razón tienen 40.000 bases. No necesita codificar ribosomas porque puede utilizar los de la bacteria que infecta. Ambos virus infectan y se replican en el interior de bacterias. Si la ARN polimerasa copia a una velocidad de 1000 bases por minuto, y en los cromosomas de A y B existe un solo ORI. ¿Cuánto tiempo tarda cada virus en replicarse? ¿Cuánta descendencia tendrá cada virus al cabo de seis horas?
PREGUNTA 10: Después de un tratamiento antibiótico en el que han muerto el 99.99999% de las bacterias resulta que tengo 9,22x1011 bacterias. ¿Cuántas bacterias tenía en la infección antes de comenzar el tratamiento antibiótico?
PREGUNTA 11: i) Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 15000 genes y se divide en dos bacterias cada 40 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes. ¿Cuánto tiempo tarda B en dividirse?. ii) ¿Cuántas bacterias dejará de descendencia la bacteria A y cuántas la bacteria B tras 5 horas de crecimiento?
PREGUNTA 12: i) Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 8000 genes y se divide en dos bacterias cada 40 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes. ¿Cuánto tiempo tarda B en dividirse?. ii) ¿Cuántas bacterias dejará de descendencia la bacteria A y cuántas la bacteria B tras 3 horas de crecimiento?
PREGUNTA 13: Cuando no existían bacterias toda la vida sobre la Tierra era vírica. Eran protovirus de ARN que tenían ribosomas. Estos virus se replicaban en la sopa biológica (en Ecuador en el locro biológico). Cuando aparecieron las bacterias, éstas tenían una membrana que diferenciaba fuera de dentro. Las bacterias metieron dentro todo lo que les interesaba de la sopa biológica. Los protovirus al quedarse sin su alimento sufrieron una presión selectiva que favoreció a aquellos virus que sabían como penetrar en el interior de las bacterias y alimentarse de lo que antaño había sido suyo. Nacieron los virus como entidades parásitas de las células. Muchos biólogos siguen diciendo, de forma equivocada, que los virus no son entidades vivas porque se tienen que alimentar de una célula metabólicamente activa. Si es por eso, podríamos incluir en la categoría de virus a muchas personas que no son capaces de subsistir sin su tarjeta de crédito. ¿Cómo perdieron los protovirus sus ribosomas? porque hoy en día los virus actuales no tienen ribosomas. Como siempre la solución está en la selección natural. Imaginemos dos virus A y B. El virus A es un protovirus, tiene ribosomas, y su ARN tiene 60.000 bases. El virus B perdió los genes de los ribosomas y por esa razón tienen 40.000 bases. No necesita codificar ribosomas porque puede utilizar los de la bacteria que infecta. Ambos virus infectan y se replican en el interior de bacterias. Si la ARN polimerasa copia a una velocidad de 1000 bases por minuto, y en los cromosomas de A y B existe un solo ORI. ¿Cuánto tiempo tarda cada virus en replicarse? ¿Cuánta descendencia tendrá cada virus al cabo de seis horas?
PREGUNTA 14: Tenemos dos virus A y B. El virus A tiene una tasa de letalidad del 0.1%, similar al de la gripe estacional. El virus B tiene una tasa de letalidad del 10%. En epidemiología el número reproductivo básico R0 es el número promedio de casos nuevos que genera un caso dado a lo largo de un período infeccioso.
La R0 de A y B es de 5 en ambos Si ambos virus infectan 1000 personas cada uno y esas personas vuelven a infectar otras personas y éstas a otras, es decir, tres ciclos de transmisión. Al final de esos dos ciclos de transmisión ¿Cuántas han muerto? ¿Cuántas desarrollaron anticuerpos?
Solución aquí
PREGUNTA 15 Después de una hospitalización reciente o un tratamiento con antibióticos en el que la microbiota ha desaparecido, el colon de un paciente comienza su recolonización. Clostridium difficile, Escherichia coli y Lactobacillus spp tienen unos tiempos de generación de 12, 20 y 30 min respectivamente. Partimos de una bacteria de cada una de estas tres especies. ¿Cuántos descendientes tendrán después de 2 hr y 8 hr de crecimiento. ¿Cuál será el porcentaje sobre el total de bacterias de cada una de ellas? ¿Se entiende ahora la colitis pseudomembranosa?
Solución:
El cuello de botella también se puede explicar con esta imagen:
PREGUNTA 17: Una eyaculación humana produce de promedio unos 250 millones de espermatozoides. ¿Cuántos espermatozoides con la misma dotación cromosómica habría si no hubiese recombinación genética? Me explico con un ejemplo, imaginemos un espermatozoide que tenga los 23 cromosomas procedentes de la madre (es decir, de la abuela paterna del futuro bebé). Con esa dotación genética ¿Cuántos espermatozoides habría en 250 millones que tiene una eyaculación promedio?
Respuesta: probabilidad de que un espermatozoide tenga los 23 cromosomas procedentes de la madre es de 1 entre 223, es decir, 1 espermatozoide cada 8388608. Uno de cada 8 millones. En 250 millones de espermatozoides habrá 250/8 = 31 espermatozoides con dotación cromosómica procedente de la madre del progenitor
PREGUNTA 18: ¿Cómo podemos pasar del antibiograma de 2009 al de 2019?
PREGUNTA 19: Vamos a calcular el riesgo de entrar en la Unidad de Cuidados Intensivos si estás vacunado o si no estás vacunados tomando los datos de Asturias. Tenemos 870.807 personas vacunadas, el 85.48% de la población total. Si el 85.48% de las personas son 870.807, el 100% serán 1.018.726 personas, es decir, la población total.
Imaginemos que de 100 ingresados en la UCI, 80 son pacientes previamente vacunados y 20 son no vacunados
Solución: En Asturias los 870.807 personas vacunadas son el 85.48% de la población total y son el 93% si consideramos la población diana, esto es, la población mayor de 12 años.
Si 870.807 personas vacunadas son el 93% de la población diana. El 7% de las personas no vacunadas dentro de la población diana (>12 años) será
870.807 ------ 93%
x ---------100%, X = 936.351 personas que viven en Asturias mayores de 12 años
El 7% de personas no vacunadas mayores de 12 será de 65544 personas
¿Cuántas personas vacunadas por cada 100.000 habitantes han visitado la UCI?
870.807------- 80 personas
100.000--------X, X = 9,1 por cada 100.000 habitantes
¿Cuántas personas no vacunadas por cada 100.000 habitantes han visitado la UCI?
65.544 ------- 20 personas
100.000--------- X, X = 30,5 por cada 100.0000 habitantes
Las personas no vacunadas en UCI son un 335% más que las vacunadas
PREGUNTA 20: ¿Podrías explicar la siguiente gráfica?
Los países que están arriba son irlanda y después Portugal. El país que está abajo es Bulgaria.
PREGUNTA 21: Antes de un tratamiento antibiótico tengo 9,22x1011 bacterias. Si después del tratamiento antibiótico se mueren el 99.99999% ¿Cuántas bacterias tengo? Si de ese número tengo 100 bacterias de Escherichia coli que se dividen cada 20 min, 100 bacterias de Lactobacillus que se dividen cada 60 min y 100 bacterias de Clostridium difficile que se dividen cada 12 min ¿Qué población de cada bacteria tendré al cabo de 6 hr? ¿Cuál es el ratio entre Clostridium y lactobacillus? ¿Explica este ejercicio la enfermedad de la colitis pseudomembranosa? ¿Cómo?
PREGUNTA 22: Hemos partido de un cultivo de plasmodium muy concentrado. Diluimos esa muestra en una dilución seriada 1/10 cinco veces. Cuando tenemos el cultivo 5 veces diluido 1/10 tomamos 10 ul para medir en una cámara neubauer. El recuento de la cámara nos dice que tenemos 48 células en 10 ul de esa muestra. ¿Cuál es la concentración de plasmodium original?
Solución: pincha aquí
PREGUNTA 23: de esta familia de antivacunas se han muerto el padre, la madre y uno de los hermanos.
¿Por qué es una tragedia desde el punto de vista médico y una bendición desde el punto de vista biológico?
PREGUNTA 25: i) Tengo dos protozoos: A y B. El protozoo A tiene un cromosoma con 10.000 genes y se divide en dos protozoos cada 180 minutos. El protozoos B tiene 5000 genes. ¿Cuánto tiempo tarda B en dividirse?. ii) ¿Cuántos protozoos dejará de descendencia el protozoo A y cuántas protozoo B tras 24 horas de crecimiento?
PREGUNTA 26: La malaria tiene una R0=2.5. Su letalidad es de 8%. Si 100 personas se infectan de malaria ¿Cuántas sobrevivirán al cabo de tres rondas de transmisión del parásito?
PREGUNTA 27: ¿Es correcto decir que el linfocito "se adapta" para atacar a un virus o una bacteria en particular?
Solución: No es correcto. Al unirse el antígeno de la vacuna a un linfocito que tenga un anticuerpo que reconozca ese antígeno hará que este linfocito comience a dividirse y aumentar su número
PREGUNTA 28: Tenemos una subpoblación de linfocitos de 4.294.967.296. Esta población procede de un solo linfocito activado. Si este linfocito se divide cada dos horas ¿Qué tiempo ha transcurrido desde este linfocito hasta la población de 4.2 x 109 linfocitos?
Solución: Log2 4.294.967.296 = 32 divisiones. Cada división 2 horas, en total 64 horas
PREGUNTA 29: En un documental se afirma que en las vacunas lo que ocurre es que los linfocitos después del contacto con el antígeno se multiplican. ¿Qué hay de impreciso en esta frase? ¿Cómo se podría explicar mejor?
Solución: No, porque no todos los linfocitos se multiplican. Solo se multiplican aquellos que tienen un anticuerpo determinado que se une al antígeno que se encuentra en la vacuna
PREGUNTA 30: Tenemos 6 x 105 linfocitos de memoria en un paciente vacunado. Todos ellos son un clon de un linfocito que se estimuló con una vacuna. Cuando ese paciente se infecta con el virus, esta población de linfocitos alcanza los 614.400.000. Si un linfocito se divide cada dos horas. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido hasta alcanzar esta cifra?
Solución: 614.400.000 / 6 x 105 = 1024. Log2 1024 = 10 divisiones. Total tiempo: 20 horas
PREGUNTA 31: Un error común a la hora de explicar las vacunas es decir que el sistema inmune “aprende” o “se adapta” para atacar microorganismos extraños. ¿Qué dos propiedades, que hemos visto en clase, tiene el sistema inmune para ser tan efectivo contra los microorganismos patógenos?
Solución: las dos propiedades son selección y expansión clonal. En nuestro cuerpo circulan millones de células inmune. Cada una de ellas exhibe un anticuerpo distinto y característico propio. Cuando nos vacunamos, introducimos en nuestro cuerpo un fragmento del virus , de la bacteria o del parásito contra el que nos queremos proteger. Si ese fragmento se une al anticuerpo de una de esas células, esta célula empieza a proliferar. De esa manera, ahora tendremos millones de células clónicas que tienen ese anticuerpo con capacidad de unirse al virus o a la bacteria en cuestión. Por ese motivo, la vacuna nos protege, por que selecciona y hace que se multipliquen las células que reconocen y se unen al patógeno contra el que nos queremos vacunar.
PREGUNTA 32: ¿Es correcto decir que los linfocitos “aprenden” a reconocer un antígeno? ¿Por qué los linfocitos reconocen el antígeno de una vacuna?
Solución: Los linfocitos no aprenden. Se selecciona el linfocito que tiene un anticuerpo que se une al antígeno. Ese linfocito aumenta exponencialmente su número. La respuesta de millones de linfocitos clónicos es lo que explica la efectividad de las vacunas
PREGUNTA 33: La siguiente frase entre comillas es erronea “Los linfocitos no se adaptan, pero tienen memoria, entonces cuando un virus o bacteria aparece ellos lo identifican, indicando especificidad para ellos”. ¿Podrías decir en qué se equivoca?
Solución: En nuestro cuerpo circulan millones de células inmune. Cada una de ellas exhibe un anticuerpo distinto y característico propio. Cuando nos vacunamos, introducimos en nuestro cuerpo un fragmento del virus , de la bacteria o del parásito contra el que nos queremos proteger. Si ese fragmento se une al anticuerpo de una de esas células, esta célula empieza a proliferar. De esa manera, ahora tendremos millones de células clónicas que tienen ese anticuerpo con capacidad de unirse al virus o a la bacteria en cuestión. Por ese motivo, la vacuna nos protege, por que selecciona y hace que se multipliquen las células que reconocen y se unen al patógeno contra el que nos queremos vacunar.
PREGUNTA 34: tengo 2457600 células de Entoamoeba histolytica que han crecido a partir de 600 células ¿Cuántas veces se han dividido?
Solución: 2457600 / 600 = 4092. Log2 4096 = 12. Las 600 células se han dividido 12 veces.
PREGUNTA 35: Si la producción anual mundial de trigo es de 790 millones de toneladas. Con una producción anual similar. ¿Cuántos años harían falta para alcanzar 2 elevado a 63 granos de trigo si consideramos que en un kg de trigo hay aproximadamente 20.000 granos
Solución: En un kg de trigo entran aproximadamente 20.000 granos. Lo cual convierte ese numero en aproximadamente 925.000 millones de toneladas de trigo, la produccion mundial de trigo proyectada para este ciclo agricola es de casi 790 millones asi que se necesitarian 1.165 años para completar la recompensa.
¿Y si lo ponemos en gramos? 1 grano de trigo pesa 0,0421 gramos. X 2^63 (solo la última casilla) = 3,88x10^17 gramos. Lo que son 388.000.000.000 Toneladas. Eso son trescientas ochenta y ocho mil millones de toneladas.Para saber más:
¿Realmente sabemos cómo funcionan las vacunas?
